Modele opadów do bezpiecznego projektowania kanalizacji

Dla wymiarowania, w tym również modelowania hydrodynamicznego sieci odwodnieniowych w skali dużego miasta niezwykle ważna jest analiza historycznych danych o opadach. Analiza taka powinna być podstawą opracowań technicznych dotyczących rozbudowy czy modernizacji ogólnospławnych i deszczowych systemów kanalizacyjnych.

Zarówno krótkotrwałe opady nawalne o małym zasięgu, jak i długotrwałe opady o mniejszej intensywności, lecz dużym zasięgu mogą wywołać zniszczenia środowiskowe w miejskiej infrastrukturze. Występujące zalania czy podtopienia terenu są bowiem skutkiem braku możliwości odbioru przez system kanalizacyjny lub odbiornik ekstremalnie dużych objętości wód opadowych. Wraz z postępującą urbanizacją – uszczelnieniem naturalnych terenów retencji wód opadowych w miastach – zjawiska te mogą się w przyszłości nasilać.

Bezpieczne wymiarowanie systemów kanalizacyjnych ma na celu zapewnienie odpowiedniego standardu odwodnienia terenu, który definiuje się jako przystosowanie systemu do  przyjęcia maksymalnych prognozowanych strumieni wód opadowych z częstością równą dopuszczalnej, akceptowalnej społecznie częstości wystąpienia wylania na powierzchnię terenu. O dokładności każdej metody obliczeniowej decyduje najsłabsze ogniwo, w tym przypadku są to dane wyjściowe o opadach deszczu [1]. Norma europejska PN-EN 752:2008 ogranicza częstość wylewów z kanalizacji do rzadkich powtarzalności ich występowania, tj. raz na 10 do 50 lat (tab. 1).

Ważne stają się obecnie systematyczne badania opadów w celu określenia prawdopodobieństwa (p) czy statystycznej częstości (C) występowania maksymalnych wysokości i natężeń jednostkowych deszczy. Niezbędny jest do tego odpowiednio duży materiał archiwalny z pomiarów opadów (min. 30 lat) i możliwie jak najgęstsza sieć obserwacyjna.

Przedstawione w artykule wyniki czasoprzestrzennego zróżnicowania opadów atmosferycznych w Polsce i we Wrocławiu powinny zwrócić uwagę na znaczenie tego problemu. Przykładowo model opadów Błaszczyka [2], który jest jak dotychczas najczęściej stosowany do wymiarowania kanalizacji w Polsce, znacznie zaniża miarodajne natężenia deszczy [2–6] i powinien być zastąpiony wiarygodnymi modelami, co zostanie wykazane na przykładzie aglomeracji wrocławskiej.

Czasoprzestrzenne zróżnicowanie natężeń opadów

Podstawową formą ilościowego opisu opadów deszczowych są modele zależności: wysokości h [mm] lub intensywności I [mm/min] bądź natężenia jednostkowego q [dm³/(s · ha)] opadu od czasu jego trwania t i prawdopodobieństwa wystąpienia p lub zamiennie częstości (powtarzalności) C = 1/p opadu (w latach), typu:

q = q (t,p)    (1)

Związek natężenia jednostkowego bądź wysokości opadu z czasem jego trwania prezentowany jest najczęściej w postaci krzywych typu IDF (Intensity-Duration-Frequency) lub typu DDF (Depth-Duration-Frequency) dla różnych prawdopodobieństw p (lub częstości C) wystąpienia opadu. Związki takie, opracowane dla wielu regionów geograficznych świata, są do siebie zbliżone jakościowo. Nie znaczy to wcale, że są identyczne ilościowo, zwłaszcza w skali lokalnej.

O zjawisku opadowym określonego obszaru decyduje wiele uwarunkowań środowiskowych, takich jak:

• położenie geograficzne,

• odległość od mórz i oceanów,

• ukształtowanie powierzchni i wyniesienie obszaru nad poziom morza,

• pokrycie i sposób użytkowania terenu, w tym wysoka zabudowa.

Intensywne opady występujące w warunkach polskich (tab. 2) nie różnią się znacząco pod względem wysokości od notowanych w krajach ościennych, położonych na granicy klimatu kontynentalnego i morskiego, jak Niemcy czy Czechy, podobnie jak opady we Wrocławiu na Strachowicach od występujących na warszawskich Bielanach [1].

Dla celów projektowych przestrzenny rozkład natężeń opadów na obszarze kraju ujmuje model fizykalny Błaszczyka z 1954 r. [2], który jest wciąż najczęściej stosowany do wymiarowania kanalizacji w Polsce. Model ten, wzorowany na strukturze formuły Gorbaczewa, ma postać:

gdzie:
q – jednostkowe natężenie deszczu – średnie w okresie trwania [dm³/(s · ha)],
t – czas trwania deszczu [min],
H – wysokość opadu normalnego [mm],
C – częstość występowania deszczu o natężeniu q lub większym [lata].

Model Błaszczyka oparty został na analizie statystycznej zbioru 79 silnych deszczy, spełniających kryterium (średniej) wysokości: h > t0,5 - dla t z całego okresu trwania deszczu, zarejestrowanych w Warszawie w latach 1837–1891 i 1914–1925. Z łącznego okresu 67 lat obserwacji analizie poddano jedynie opady z 37 – po odrzuceniu lat, w których nie odnotowano ani jednego silnego deszczu. Zmienność opadów na obszarze kraju scharakteryzowano za pomocą opadu normalnego, który na przeważającym obszarze Polski zawiera się w granicach od 500 do 700 mm. Najwyższa średnia wysokość opadów sięga 1800 mm (Kasprowy Wierch), natomiast najniższa wynosi ok. 500 mm (Kujawy). We Wrocławiu wysokość opadu normalnego wynosi ok. 590 mm [1].

Bogdanowicz i Stachy opublikowali w 1998 r., na podstawie ogólnopolskich pomiarów deszczy w latach 1960-1990 w 20 stacjach meteorologicznych IMGW, tzw. charakterystyki projektowe opadów w postaci modelu probabilistycznego maksymalnych wysokości [7]:



gdzie:
h – maksymalna wysokość opadu [mm],
t – czas trwania deszczu [min],
p – prawdopodobieństwo przewyższenia opadu: p &epsis; (0; 1],
α – parametr zależny od regionu Polski i czasu t.

Do opracowania modelu (3) za podstawę przyjęto 31 maksymalnych opadów rocznych – po jednym największym z każdego roku obserwacji – które następnie uszeregowano według nierosnących przedziałowych wartości wysokości opadów w 14 interwałach czasowych – od 5 minut do 72 godzin. Model ten nie obejmuje jednak obszarów podgórskich i górskich (rys. 1). Dla prawdopodobieństw przewyższenia p < 1 (czyli dla C > 1) przykładowo w regionie centralnym (R1) parametr α obliczany jest ze wzorów:

• dla t &epsis; [5; 120) min

  α = 4,693 ln (t + 1) – 1,249               (4)

• dla t &epsis; [120; 1080) min

  α = 2,223 ln (t + 1) + 10,639             (5)

• dla t &epsis; [1080; 4320] min

  α = 3,01 ln (t + 1) – 5,173                 (6)

obarczony błędem dotyczącym wysokości opadów dla częstości deszczy pojawiających się raz na rok, p = 1 (C = 1), co zostanie wykazane w dalszej części artykułu.

Zasady tworzenia modeli opadów do projektowania kanalizacji

Wyznaczenie prawdopodobieństwa p lub zamiennie częstości C występowania opadów deszczu o danej albo większej wysokości h bądź wartości natężenia jednostkowego q odbywa się poprzez szeregowanie opadów według nierosnących wartości tych wskaźników. Odnosić to można zarówno do całego okresu trwania opadu – metoda „średnich wartości” (wg Błaszczyka), jak i do poszczególnych jego fragmentów o znanych przedziałowych wartościach h czy q (zliczanych ruchomą sumą) – metoda „chwilowych-maksymalnych wartości” (wg Bogdanowicz i Stachy). Ta druga metoda jest właściwa do formułowania modeli opadów dla bezpiecznego projektowania systemów kanalizacyjnych.

Uwzględniając fakt, że w niektórych latach mogą nie występować bardzo intensywne opady, a w innych latach wielokrotnie, eliminowanie a priori „lat suchych” (za Błaszczykiem) nie jest właściwe, zwłaszcza że badane powinny być maksymalne przedziałowe wartości wskaźników intensywnych opadów. Z kolei zastosowanie pracochłonnej metody przeglądu zupełnego opadów nie jest celowe, gdyż analizowanie opadów o małej czy średniej intensywności wydłuża tylko listę szeregów częstości opadów znacznie poza interpretowany zakres.

Metoda interpretacji częstości występowania maksymalnych wysokości opadów deszczu oparta na założeniu, że każdy rok obserwacyjny może być reprezentowany przez jeden (największy w roku) opad syntetyczny (za Bogdanowicz i Stachy) jest również niewłaściwa. Prowadzi bowiem do znacznego zaniżenia wysokości opadów dla częstości występowania C = 1 rok (p = 1) [1]. Należy więc ustalić odpowiednie kryterium wyboru próby losowej opadów do analiz, tak aby każdy rok był reprezentowany przez co najmniej kilka największych w danym roku opadów syntetycznych.

Dla uszeregowanych już opadów możliwe do zastosowania są dwie odmienne metody uogólnień wyników badań, czyli tworzenia modeli opadów. Pierwszy, historyczny już sposób (wg Błaszczyka) polega na przyjęciu hipotezy, że uszeregowanym malejąco opadom (np. o danym natężeniu wraz z wyższymi) można z góry przypisać empiryczne prawdopodobieństwo występowania – odniesione co najwyżej do długości okresu obserwacji opadów. Jednak wiarygodność takich modeli ograniczona jest zwykle do C ∊ 10 lat, nawet dla okresu obserwacji trwającego np. 30 lat. Uogólnienie wyników polega tutaj na wyznaczeniu (metodą najmniejszych kwadratów) współczynników empirycznych przyjętej postaci modelu fizykalnego opadów.

Druga metoda (wg Bogdanowicz i Stachy) zakłada wygładzanie probabilistyczne zmierzonych serii czasowych opadów i na tej podstawie przypisywanie im teoretycznych częstości występowania, w okresie dłuższym niż okres obserwacji opadów (w 100-leciu już na podstawie np. 30 lat obserwacji). Uogólnieniem wyników jest tutaj model probabilistyczny (najczęściej w postaci wyestymowanego kwantyla) przyjętego rozkładu prawdopodobieństwa, którego dolne ograniczenie odpowiada wartości funkcji o częstości C = 1 rok (p = 1).

Proponowane nowe podstawy tworzenia modeli opadów sformułowano i zweryfikowano na przykładowym materiale badawczym, którym były archiwalne zapisy opadów pochodzące ze stacji IMGW Wrocław-Strachowice z lat 1960–2009 [1]. Mianowicie do wyodrębnienia z pluwiogramów intensywnych deszczy do analiz statystycznych częstości ich występowania przyjęto własne kryterium przedziałowych wysokości opadów: h ≥ 0,75t0,5, które pozwoliło na wyselekcjonowanie dla każdego roku od kilku do kilkunastu najintensywniejszych deszczy.

Łącznie z okresu 50 lat obserwacji do szczegółowej analizy statystycznej wyodrębniono 514 opadów syntetycznych (przeciętnie 10 w roku), które następnie były szeregowane według nierosnących wysokości w poszczególnych 16 przedziałach czasowych ich trwania (od 5 minut do 72 godzin). Na tej podstawie zweryfikowano i uogólniono dwie metody – do fizykalnego oraz probabilistycznego opracowywania wyników pomiarów opadów maksymalnych – które zalecono do stosowania w innych stacjach meteorologicznych w kraju.

Przykład tworzenia modeli fizykalnych opadów maksymalnych

W celu sformułowania modelu fizykalnego dla maksymalnej wysokości opadów przyjęto wstępnie dwuparametrowe równanie do badania rodziny zależności typu DDF, o postaci zwanej w literaturze modelem Lindleya, dla której wyznaczono wartości współczynników regresji metodą najmniejszych kwadratów. W efekcie uzyskano trzy modele fizykalne o różnej klasie dokładności, jednak niezadowalającej w odniesieniu do dwóch najkrótszych czasów trwania opadów (5 i 10 minut).

Sprawdzono więc przydatność trójparametrowego modelu o ogólnej postaci modelu Reinholda. Model ten okazał się dokładniejszy w opisie, zwłaszcza praktycznego, do projektowania kanalizacji, zakresu czasów trwania t &epsis; [5; 360] minut i częstości występowania opadów C &epsis; [1; 10] lat. Model maksymalnej wysokości opadów (h_max [mm]) ma dla stacji Wrocław-Strachowice postać:

a po przekształceniu na natężenie jednostkowe

Rodzina krzywych typu DDF na rys. 3 opisuje zmierzone szeregi czasowe częstości opadów (z rys. 2), interpretowane wg (7) jako linie trendu, w 95% przedziałach ufności.

Przykład tworzenia modeli probabilistycznych opadów maksymalnych

Dla sformułowania modelu probabilistycznego do opisu maksymalnych wysokości opadów deszczowych rozpatrzono przydatność czterech typów rozkładów teoretycznych [1]: Fishera–Tippetta typ I_max, Fishera–Tippetta typ III_min, logarytmiczno-normalny oraz Pearsona typ III. Metodą największej wiarygodności (MNW) wyznaczono estymatory parametrów funkcji gęstości poszczególnych rozkładów, a następnie testem λ-Kołmogorowa zbadano zgodność przyjętych rozkładów teoretycznych z rozkładem empirycznym.

Test ten odrzucił na poziomie istotności α = 0,05 rozkład  logarytmiczno-normalny jako odstający od danych pomiarowych. Pozostałe trzy rozkłady poddano ocenie według kryterium informacyjnego Schwartza (BIC) [8, 9], w celu wyboru najlepszego z nich. Kryterium BIC wskazało na dwa rozkłady, tj. Fishera–Tippetta typ III_min oraz Pearsona typ III, jako nadające się do opisu opadów deszczowych w stacji Wrocław-Strachowice. Na tej podstawie opracowano dwa modele probabilistyczne pozwalające obliczać maksymalne wysokości opadów o czasie trwania t &epsis; [5; 4320] minut i prawdopodobieństwie występowania p &epsis; [1; 0,01] lat, czyli o częstości C &epsis; [1; 100] lat.

Na podstawie analizy porównawczej obu modeli z danymi pomiarowymi model oparty na rozkładzie Fishera–Tippetta typ III_min uznano za dokładniejszy. Kwantyl tego rozkładu jest jednocześnie postacią modelu probabilistycznego dla maksymalnej wysokości opadów (h_max [mm]) w stacji Wrocław-Strachowice:

skąd po przekształceniu na maksymalne natężenia jednostkowe (qmax [dm³/(s · ha]) przyjmuje postać:

Interpretację graficzną maksymalnych wysokości opadów (h_max) dla stacji Wrocław- Strachowice w okresie 1960–2009, obliczonych z modelu probabilistycznego (9), przedstawiono na rys. 4. Jest to rodzina krzywych typu DDF – powtarzalnych wysokości opadów maksymalnych o częstości pojawiania się C &epsis; [1; 100] lat oraz czasie trwania t &epsis; [5; 4320] minut.

Porównanie ilościowe modeli opadów maksymalnych w warunkach wrocławskich

W tab. 3 przedstawiono wyniki obliczeń maksymalnych natężeń deszczy (q) z modeli fizykalnych: Błaszczyka (2) dla H = 590 mm oraz opracowanego dla Wrocławia-Strachowic (8), a także z modeli probabilistycznych: Bogdanowicz–Stachy (3) dla regionu centralnej Polski (R1) i opracowanego dla Wrocławia-Strachowic (10) w zakresie wybranych częstości występowania C = 1–10 lat i czasów trwania opadów t = 15–180 min. Dla celów porównawczych przyjęto wynik obliczeń natężenia opadów z modelu Błaszczyka (2) jako 100%. Względne przewyższenia wyników obliczeń (q) z innych modeli w porównaniu do modelu Błaszczyka (q/q(2)) zaznaczono pogrubioną czcionką.

Z tab. 3 wynika, że analizowane modele znacznie przewyższają wyniki obliczeń natężeń deszczy z modelu Błaszczyka, w skrajnych przypadkach nawet o 60%. Jedynie dla C = 1 rok można wskazać na duże, bo rzędu 50%, zaniżenie wyników obliczeń q z modelu Bogdanowicz–Stachy nawet porównując z modelem Błaszczyka. Model Błaszczyka, który jest wciąż najczęściej stosowany do wymiarowania kanalizacji w Polsce, znacznie zaniża wyniki obliczeń miarodajnych natężeń deszczy występujących we Wrocławiu – średnio o 40% w porównaniu z modelem fizykalnym (8) i probabilistycznym (10) oraz o 50%, porównując z modelem Bogdanowicz–Stachy (poza C = 1 rok). Nie powinien więc być stosowany zarówno we Wrocławiu, jak i na terenie całego kraju.

Podsumowanie i wnioski końcowe

W artykule zaprezentowano nowo sformułowaną i zweryfikowaną w praktyce metodologię probabilistycznego i fizykalnego opracowywania wyników pomiarów opadów, miarodajnych dla bezpiecznego wymiarowania kanalizacji. Przeprowadzone badania i studia literaturowe pozwalają na wyciągnięcie wielu wniosków o charakterze metodologicznym. Zweryfikowana na opadach we Wrocławiu-Strachowicach metoda selekcji i wyboru intensywnych deszczy miarodajnych dla analiz statystycznych częstości ich występowania cechuje się następującymi założeniami wyjściowymi:

• analizowane powinny być wszystkie intensywne opady dla każdego roku o przedziałowych wysokościach zliczanych metodą ruchomej sumy, z ciągłego okresu kilkudziesięciu lat, (minimum 30, optymalnie 50) jednorodnych obserwacji,

• zaproponowane kryterium selekcyjne przedziałowych wysokości opadów zaliczanych do intensywnych (h ≥ 0,75 t0,5) pozwala na wyodrębnienie w każdym roku od kilku do kilkunastu opadów miarodajnych do analiz statystycznych prawdopodobieństwa lub częstości ich występowania.

Właściwe jest tworzenie modeli opadów o zasięgu lokalnym, odrębnie dla każdej stacji meteorologicznej, a następnie na tej podstawie sporządzanie map opadów maksymalnych na terenie całego kraju – poprzez interpolację wyników pomiędzy stacjami. W celu porównania modeli opadów pochodzących z różnych stacji meteorologicznych wyniki pomiarów wysokości opadów powinny być opracowywane za pomocą jednej wspólnej metodologii, którą zaproponowano w artykule na przykładzie opisu opadów we Wrocławiu.

Model opadów Błaszczyka, który wciąż jest najczęściej stosowany do wymiarowania kanalizacji w Polsce, znacznie zaniża wyniki obliczeń miarodajnych natężeń deszczy, a więc i strumieni objętości ścieków opadowych – dla Wrocławia- Strachowic o 40%. Nie powinien więc być stosowany w warunkach wrocławskich, ale także w innych rejonach Polski. Wskazują na to również wyniki obliczeń modelu Bogdanowicz–Stachy dla regionu centralnego (R1), przewyższające wyniki uzyskiwane przy wykorzystaniu modelu Błaszczyka o 50% dla C = 2, 5 i 10 lat. Jednak dla C = 1 rok model ten znacznie zaniża wyniki obliczeń miarodajnych natężeń deszczy, nawet porównując z modelem Błaszczyka.

Badania zrealizowano ze środków finansowych Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego przyznanych na działalność statutową Wydziału Inżynierii Środowiska Politechniki Wrocławskiej w 2008 i 2009 r.

Literatura

1. Kotowski A., Kaźmierczak B., Dancewicz A., Modelowanie opadów do wymiarowania kanalizacji, Wyd. Komitetu Inżynierii Lądowej i Wodnej PAN, Instytut Podstawowych Problemów Techniki, „Studia z zakresu Inżynierii” nr 68, Warszawa 2010.

2. Błaszczyk W., Spływy deszczowe w sieci kanalizacyjnej. Wytyczne do normatywu, „Gaz, Woda i Technika Sanitarna” nr 9/1954.

3. Kotowski A., O potrzebie dostosowania zasad wymiarowania kanalizacji w Polsce do wymagań normy PN-EN 752 i zaleceń Europejskiego Komitetu Normalizacji, „GWTS” nr 6/2006.

4. Kotowski A., Dyskusja nad zaleceniami normy PN-EN 752 odnośnie zasad wymiarowania odwodnień terenów w Polsce, VI Zjazd Kanalizatorów Polskich POLKAN, Łódź 2007, Monografie Komitetu Inżynierii Środowiska PAN Vol. 46/2007.

5. Kotowski A., O wiarygodności podstaw modelowania zbiorników retencyjnych ścieków deszczowych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Prace Naukowe, s. „Inżynieria Środowiska”, z. 57/2009.

6. Kotowski A., Kaźmierczak B., Ocena przydatności dotychczasowych wzorów na natężenie opadów deszczowych do projektowania odwodnień terenów w Polsce, „GWTS” nr 11/2009.

7. Bogdanowicz E., Stachy J., Maksymalne opady deszczu w Polsce. Charakterystyki projektowe. Materiały badawcze, seria „Hydrologia i Oceanologia” nr 23, Wyd. IMGW, Warszawa 1998.

8. Sakamoto Y., Ishiguro M., Kitagawa G., Akaike information criterion statistics, KTK Scientific Publishers, 1986.

9. Konishi S., Kitagawa G., Information criteria and statistical modeling, Springer Science, 2008.

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!